নতুন কিছু গাণিতিক বিভাজ্য তথ্য !

নতুন কিছু গাণিতিক বিভাজ্য তথ্য !

❒ কোন সংখ্যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি এর ডিজিটগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হয়। যেমনঃ ৩৪২৩৭০২৩ এর ডিজিটগুলোর যোগফল ৩+৪+২+৩+৭+০+২+৩=২৪ , যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং ৩৪২৩৭০২৩ ও ৩ দিয়ে বিভাজ্য।
❒ কোন সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি সংখ্যাটির শেষ ২ ডিজিট দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হয়। যেমনঃ ৬৭৮৭৬১২ সংখ্যাটি ৪ দিয়ে বিভাজ্য। কারণ শেষ দুটি ডিজিট দিয়ে গঠিত সংখ্যা ১২, ৪ দিয়ে বিভাজ্য।

❒ কোন সংখ্যা ২ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি এর শেষ ডিজিটটি জোড় হয়। (এটা প্রায় সবাই জানে)
❒ কোন সংখ্যা ৬ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি এটি ৩ আর ২ দ্বারা বিভাজ্য হয় (৩ আর ২ এর জন্য উপরের নিয়মের মাধ্যমে চেক করা যেতে পারে।)
❒ কোন সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি সংখ্যাটির শেষ ৩ ডিজিট দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য হয়। যেমনঃ ৩৪২১৬৯৪২৪ সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য। কারণ শেষ তিনটি ডিজিট দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪২৪, যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য।
❒ কোন সংখ্যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি এর ডিজিটগুলোর যোগফল ৯দিয়ে বিভাজ্য হয়। যেমনঃ ২৪৩০৯১৮৬৩ এর ডিজিটগুলোর যোগফল ২+৪+৩+০+৯+১+৮+৬+৩=৩৬ , যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং ২৪৩০৯১৮৬৩ ও ৯ দিয়ে বিভাজ্য।

Full Lesson >>

Math এ ভাল করতে হলে তোমাকে যা অবশ্যই করতে হবে...

Math এ ভাল করতে হলে তোমাকে যা অবশ্যই করতে হবে...

পরীক্ষায় ভালো করতে উচ্চতর গণিত বিষয়ে তোমাদের পূর্ণ প্রস্তুতি সম্পন্ন হতে হবে। তবু যে বিষয়গুলো মেনে চললে উচ্চতর গণিতে নিশ্চিত ভালো করা সম্ভব সে বিষয়েই আলোচনা করছি। 

• প্রথমত, উচ্চতর গণিতে ভালো করার প্রধান শর্ত হচ্ছে নিয়মিত অনুশীলন। অবশ্যই সঠিক নিয়মে যথাযথভাবে অঙ্কগুলো করতে হবে। অঙ্ক করতে গিয়ে খুব সাধারণ কিছু ভুল শিক্ষার্থীরা প্রায়ই করে থাকে। যেমন : বীজগণিতে +/- ভুল করা, প্রয়োজনীয় স্থানে বন্ধনী না দেওয়া, যথাযথ স্থানে একক ব্যবহার না করা ইত্যাদি। তাই অঙ্কে ভালো করতে চাইলে অনুশীলনের মাধ্যমে এ ভুলগুলো দূর করতেই হবে।
• ঘন জ্যামিতির অঙ্কে প্রয়োজনে চিত্র দেওয়া যেতে পারে। তবে সবক্ষেত্রে এটি বাধ্যতামূলক নয়। যেখানে চিত্র প্রয়োজন, সেখানে সঠিক চিত্রসহ প্রয়োজনীয় একক ব্যবহারে সতর্ক থেকে যথাযথভাবে অঙ্ক করবে। না হলে নম্বর কাটা যেতে পারে।
• জ্যামিতির সম্পাদ্যের চিত্র নিখুঁত ও মাপে সঠিক হতে হবে। তবে উপপাদ্যের চিত্রও দৃষ্টিকটু হলে চলবে না। এখানে পেন্সিলটি কাটার দিয়ে সরু করে নেবে। জ্যামিতির উত্তর দেওয়ার সময় খাতার বাঁ পৃষ্ঠা থেকে লেখা শুরু করতে চেষ্টা করবে।
• প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর লেখা শেষ করে একটি সমাপ্ত রেখা টেনে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর শুরু করতে পার। যেসব অঙ্কে আলাদা উত্তর লেখা যায়, সেগুলো একটি ঘরের ভেতরে দেওয়া যেতে পারে।
• নিয়মিত অনুশীলন করলে গণিতকে জটিল কিছু মনে হবে না। পরীক্ষার সময় প্রথমে বীজগণিত বা ত্রিকোণমিতি, এরপর পর্যায়ক্রমে সমতলীয় ভেক্টর, ঘন জ্যামিতি, উপপাদ্য, সম্পাদ্য এবং জ্যামিতির অনুশীলন উত্তর করা যেতে পারে।
• সব প্রশ্নের যথাযথ উত্তর দেওয়ার সঙ্গে সঙ্গে অঙ্কে পূর্ণ নম্বর পেতে হলে অবশ্যই কাটাকাটি করা কমাতে হবে। যথাযথভাবে স্কয়ার চিহ্ন, = চিহ্ন এবং পরিমিতির অঙ্কে যথাস্থানে প্রায় এবং সঠিক একক (সে.মি. বা মিটার ইত্যাদি) অবশ্যই লিখতে হবে।
• একটি পরিচ্ছন্ন খাতা ও সঠিকভাবে করা অঙ্ক অবশ্যই একজন পরীক্ষার্থীকে পূর্ণ নম্বরের নিশ্চয়তা দিতে পারে। যা তোমাকে A+ পেতে সাহায্য করবে।

Full Lesson >>

গণিত অলিম্পিয়াড কী? কীভাবে, কী করবেন গণিত অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণের জন্য ? (Mega Post)

গণিত অলিম্পিয়াড কী? কীভাবে, কী করবেন গণিত অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণের জন্য ? (Mega Post)

গণিত অলিম্পিয়াড

বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড

বাংলাদেশের প্রাক-বিশ্ববিদ্যালয় পর্যায়ের ছাত্র-ছাত্রীদের গণিতের সর্বোচ্চ প্রতিযোগিতা।তৃতীয় থেকে দ্বাদশ শ্রেণীর ছাত্র-ছাত্রীরা এতে অংশগ্রহণ করে। বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটি এর আয়োজন করে থাকে। দৈনিক প্রথম আলো এবং ডাচ-বাংলা ব্যাংক অলিম্পিয়াড আয়োজনে সহায়তা দিয়ে থাকে। ২০০২ খ্রিস্টাব্দে প্রথমবারের মতো বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড আয়োজিত হয়। তখন থেকে প্রতি বছরই নিয়মিতভাবে এই প্রতিযোগিতা অনুষ্ঠিত হয়ে আসছে। এই অলিম্পিয়াড দুটি স্তরে সম্পন্ন হয়ে থাকে: বিভাগীয় উৎসব ও জাতীয় উৎসব। বিভাগীয় উৎসবে নির্বাচিত ছাত্র-ছাত্রীরা জাতীয় উৎসবে অংশ নেয়। জাতীয় পর্যায়ে কৃতিত্ব প্রদর্শনকারীদের নিয়ে গণিত ক্যাম্পের আয়োজন করা হয়, আর সেখানে থেকেই বাছাই করা হয় আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডের জন্যে বাংলাদেশের জাতীয় গণিত দল।
এছাড়াও গণিতের জাগরণকে মুখরিত রাখতে বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড, নিজস্ব ব্লগ এবং গণিত ক্লাব ও ফোরাম চালু করেছে। এসকল ফোরাম ও ক্লাবে গণিত বিষয়ে নানা সমস্যার আলোচনা ও সমাধান করা হয়।

১. গণিত অলিম্পিয়াড কী?

গণিত অলিম্পিয়াড শিক্ষার্থীদের গণিতে দক্ষতা এবং আগ্রহ বাড়ানোর জন্য দীর্ঘদিন যাবৎ বিভিন্ন দেশে অনুষ্ঠিত হয়ে আসছে। গণিত অলিম্পিয়াডের ইতিহাস সম্পর্কে জানতে হলে এখানে  এবং এখানে  এই দু’টি ওয়েবসাইট ঘুরে দেখতে পার। বাংলাদেশে গণিত অলিম্পিয়াডের মোটামুটি তিনটি ধাপ আছে।
প্রথমটি হল আঞ্চলিক (বিভাগীয়) গণিত উৎসব, যা ডিসেম্বর-জানুয়ারী মাসে সারাদেশের প্রায় ১৪-১৫ টি ভেন্যুতে অনুষ্ঠিত হয়। রেজিস্ট্রেশনের জন্য চোখ রাখতে হবে প্রথম আলোর বিজ্ঞান প্রজন্ম এবং গণিত ইশকুল পাতায়। প্রতিটি ভেন্যুতে সর্বোচ্চ প্রায় ১০০০ জন শিক্ষার্থী অংশ নিতে পারে। তাই আগে ভাগে রেজিস্ট্রেশন করে ফেলাই ভাল।
২য় ধাপ হল বাংলাদেশ জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াড। সারাদেশে আঞ্চলিক প্রতিযোগীতায় বিজয়ীদের নিয়ে ঢাকায় ফেব্রুয়ারী মাসের মাঝামাঝি সময়ে অনুষ্ঠিত হয়। এটি সাধারণত দুইদিন ব্যাপী অনুষ্ঠিত হয়। প্রথমদিন সকালে মূল অলিম্পিয়াড পর্ব। এর পর প্রতিযোগীদের জন্য নানা পর্বের আয়োজন থাকে। পরদিন পুরস্কার বিতরণীল মধ্য দিয়ে অনুষ্ঠান শেষ হয়।
৩য় ধাপ হল গণিত ক্যাম্প এবং Team Selection Test (TST) । জুনিয়র, সেকেন্ডারী এবং হায়ার সেকেন্ডারী পর্যায়ের (প্রশ্ন ক.২ দ্রষ্টব্য) শিক্ষার্থীদের নিয়ে মার্চের দিকে প্রায় দুই সপ্তাহব্যাপী গণিত ক্যাম্প অনুষ্ঠিত হয়। এখানে প্রশিক্ষণের পাশাপাশি আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডের জন্য দল নির্বাচন করা হয়। এখানে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যেহেতু আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে ইংরেজীতেই সবকিছু করতে হয়, তাই ক্যাম্পের পাঠদানের মাধ্যমও মূলত ইংরেজী। তবে এটা নিয়ে ভয় পাওয়ার কিছু নেই। কারণ ইংরেজীতে গণিত শেখা খুব একটা সমস্যার ব্যাপার নয়।

২.  গণিত অলিম্পিয়াডে কারা অংশ নিতে পারবে?

বিভাগীয় গণিত উৎসবে ৩য় থেকে ১২শ শ্রেণীর (বা সমমানের) শিক্ষার্থীরা অংশ নিতে পারবে। বাংলাদেশে ৪টি ক্যাটেগরীতে ভাগ করে অলিম্পিয়াডের আয়োজন করা হয়:

• প্রাইমারী: ৩য় থেকে ৫ম
• জুনিয়র: ৬ষ্ঠ থেকে ৮ম
• সেকেন্ডারী: ৯ম থেকে ১০ম
• হায়ার সেকেন্ডারী: ১১শ থেকে ১২শ শ্রেণী।

তবে এক্ষেত্রে বলে রাখা ভাল যে জাতীয় গণিত ক্যাম্পে কোন ক্যাটেগরী নেই। সবাইকে একই পরীক্ষায় অংশ নিতে হয়।

৩. গণিত অলিম্পিয়াডে কী ধরণের প্রশ্ন (সমস্যা) দেওয়া হয়?

গণিত অলিম্পিয়াডে কী ধরণের সমস্যা দেওয়া হবে তার কোন বাধাধরা নিয়ম নেই। তাছাড়া কোন বই থেকে সমস্যা না দিয়ে সাধারণত মৌলিক সমস্যা, বা কোন সমস্যাকে পরিবর্তিত করে নতুন সমস্যা দেওয়া হয়, সুতরাং কমন পড়ার সম্ভাবনা নেই! তবে সাধারণত, বিভাগীয় গণিত অলিম্পিয়াডে ৭০-৭৫ মিনিট সময়ের ভেতর ১০-১২ টি সমস্যার সমাধান করতে হয়। এখানে কোনকিছু প্রমাণ করতে হয় না; কেবল উত্তর লিখলেই চলে। জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডেও ১০-১২ টি সমস্যার সমাধান করতে হয়। তবে এখানে প্রমাণ নির্ভর বেশকিছু সমস্যা দেওয়া হয় এবং সময় ক্যাটেগরীভেদে ২-৪ ঘন্টা। আগের বছরগুলোর গণিত অলিম্পিয়াডের প্রশ্ন  এই ওয়েবসাইটে পাওয়া যাবে।

৪. গণিত অলিম্পিয়াডের জন্য কীভাবে প্রস্তুতি নেওয়া যায়?

এই প্রশ্নের জবাব দেওয়া বেশ কঠিন। কারণ অনেকে প্রচুর পড়াশোনা বা অনুশীলনের পরও হয়ত সমস্যা সমাধানে তেমন ভাল করবে না। অনেকে অল্প চেষ্টাতেই বেশ ভাল করতে পারে। তবে সমস্যা সমাধান কখনোই সহজ কোন বিষয় নয় (অন্তত শুরুতে তো নয়ই)। তাই এক্ষেত্রে পরামর্শ হল ধৈর্য না হারিয়ে বার বার চেষ্টা করে যাওয়া। আমি নিজের অভিজ্ঞতা থেকে জানি যে গণিতে দক্ষতা যেমন রাতারাতি অর্জন করার মত বিষয় না, তেমনি এমন কোন বিষয়ও না যা নির্দিষ্ট একটা পথ অবলম্বল করলে বা কয়েকটা বই পড়ে ফেললেই শেখা যাবে। তবে শুরুতে সমস্যাগুলো খুব কঠিন লাগলেও আস্তে আস্তে বিভিন্ন সমস্যার মধ্যে সামঞ্জস্য (Relation) এবং pattern নিজে থেকেই যখন আবিষ্কার করতে পারবে তখন সহজ সমস্যা সমাধান করা আরও অনেক সহজ হয়ে যাবে। কী ধরণের বিষয় কোন ক্যাটেগরীতে আসতে পারে তা জানতে এখান  থেকে BdMO syllabus লেখা pdf দেখতে পার। তবে বিভাগীয়তে মূলত: পাঠ্যবইয়ের জ্ঞান কতটুকু কাজে লাগাতে সক্ষম সেটা দেখা হয়। কিন্তু জাতীয় অলিম্পিয়াডে অনেক advanced বিষয় থেকে সমস্যা দেওয়া হতে পারে যেটা আমাদের সিলেবাসে নেই (যেমন: সংখ্যাতত্ত্ব বা কম্বিনেটরিকস)।
সমস্যা সমাধান সম্পর্কে জানার জন্য এবং সাধারণ কলাকৌশলে শেখার জন্য সবচেয়ে ভাল (এবং highly recommended) বই হল: The art and craft of problem solving। এছাড়া USA গণিত দলের প্রাক্তন কোচ কিরণ কেদলায়ার এই  নোটটিতে তিনি চমৎকার কিছু টিপস দিয়েছেন।
সবে সর্বশেষ কথা হল সঠিক অনুশীলনের কোন বিকল্প নেই। (“সঠিক অনুশীলন” সম্পর্কে জানতে প্রশ্ন ক. ৬ দেখ)

৫. গণিত অলিম্পিয়াডের জন্য কী কী বই পড়া প্রয়োজন?

প্রাইমারী এবং জুনিয়র ক্যাটেগরির শিক্ষার্থীদের জন্য মূলত নিজ ক্যাটেগরির পাঠ্যবইয়ের দিকেই বেশি নজর দেওয়া উচিত। তবে জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডের সমস্যাগুলোর ক্ষেত্রে পাঠ্যবইয়ের জ্ঞান যথেষ্ট নাও হতে পারে। বাংলা বইয়ের ভেতর problem book হিসেবে “গণিত এবং আরও গণিত” এবং “নিউরনে অনুরণন” ছোটদের জন্য ভাল।
সেকেন্ডারী আর হায়ার সেকেন্ডারী ক্যাটেগরির শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যবই যথেষ্ট নয় (তবে অবশ্যই পাঠ্যবইয়ের উপর ভাল দখল থাকতে হবে)। পাঠ্যবইয়ের পাশাপাশি আলাদা আলাদা বিষয়ের উপর textbook থেকে মূল বিষয়গুলো পড়ে problem book থেকে অনুশীলন করতে পার। তবে এক্ষেত্র বাংলা ভাষায় লেখা বইয়ের সংখ্যা খুবই কম। সেকারণে মূলত: ইংরেজী বইই পড়তে হবে। বই সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য প্রশ্ন ক.৭ দেখ।

৬. “আমি অনেক বই পড়েছি, সমাধান বুঝতেও কোন সমস্যা হয় না; কিন্তু আমি সমস্যা সমাধান করতে পারি না” কী করব??

প্রথমে একটা বিষয় পরিষ্কারভাবে বলা দরকার। অনেকের ধারণা যারা জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডে চ্যাম্পিয়ন হয় বা আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে মেডেল যায় তারা একটা সমস্যা নিয়ে বসে…আর কিছুক্ষণ পর একটা ম্যাজিকের মত সমাধান বের করে (এমন যদি হতো!)…কিন্তু এটা পুরোপুরি সত্যি না। আসল ব্যাপার হল যারা অলিম্পিয়াড সমস্যা সমাধান করে দীর্ঘদিনের জন্য তারা বিভিন্ন সমস্যার মধ্যে একটা pattern খুঁজে পায়। ফলে তার কোন উপায়ে আগাতে হবে সেটা বুঝতে পারে (এটাকে অনেকে intuition বলে)। এটা আসলে দীর্ঘদিনের অনুশীলনের ফল। তাছাড়া তারা নানা দিক থেকে দীর্ঘক্ষণ ধরে ধৈর্য ধরে সমস্যা সমাধানের চেষ্টা চালায়। আমাদের কোচ ড. মাহবুব মজুমদারের মতে: “The best problem solvers are those, who work on problems like a mad dog. They are not necessarily more genius than you.”
আরেকটা ব্যাপার হল সঠিকভাবে সমস্যা সমাধান না করা। সমস্যা সমাধান করার সময় যদি কোন সমস্যা খুব সহজ লাগে তাহলে সেই level এর সমস্যাতে মোটামুটি পারদর্শী হয়েছ বলে ধরে নেওয়া যায়। তাই সেক্ষেত্রে আরও একটু advanced level এর সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে। অর্থাৎ সহজ সমস্যা সমাধানের চেয়ে challenging সমস্যা সমাধান করলেই দ্রুত উন্নতি করা সম্ভব। তবে সহজ সমস্যা তো আগে পারতেই হবে! আর কোন সমস্যা সমাধানের পর অন্য কোন সমাধান দেখা বা দীর্ঘসময় ধরে সমাধান না করতে পারলে সমাধান দেখে শেখার চেষ্টা করলেও অনেকসময় অনেককিছু শেখা যায়।

৭. গণিত অলিম্পিয়াডের বই কোথায় পাওয়া যায়?

আমাদের কাছে এখন গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতির জন্য বিশ্ববিখ্যাত প্রায় সব বইই আছে। তবে সমস্যা হল বই না পড়ে দেখলে সেটা কতটা কঠিন (Difficulty level) বা মান বোঝা সম্ভব না। এখানে একটা comprehensive book list তৈরীর চেষ্টা করছি, মন্তব্য এবং ডাউলোড লিঙ্ক সহ: । আশা করি দ্রুতই কাজ শেষ করতে পারব।
তবে কম্পিউটারে পড়তে সমস্যা হলে printed copy এর জন্য যেকোনো বইয়ের দোকানে দেখতে পারেন।

৮. “আমি তো অলিম্পিয়াডে পুরস্কার পাব না, আমার এসব করে লাভ কী?”

শুধু পুরস্কার পাবার জন্য গণিত অলিম্পিয়াডে আসতে হবে এমন কোন কথা নেই। একটা সমস্যা সমাধান না করলেও সেটা অনেকক্ষণ চেষ্টা করলে যেমন সেটা থেকে অনেক কিছু শেখা যায়, তেমনি গণিত অলিম্পিয়াডে অংশ নিলে পুরস্কার না পেলেও গণিতের প্রতি আগ্রহ যদি বৃদ্ধি পায় তাহলে সেটাও কিন্তু কম না। আমার নিজের অভিজ্ঞতা থেকে জানি যে অনেকেই প্রথমবার অংশ নিয়ে ভাল না করলেও পরেরবার অনেক ভাল ফলাফল করেছে। আর সবচেয়ে বড় কথা হল এরকম নেতিবাচক চিন্তা না করে আত্মবিশ্বাস রাখ যে তুমি পারবে; তাহলেই তুমি ভাল করতে পারবে।

 ৯. গণিত বিষয়ে কিছু ওয়েবসাইটের লিঙ্ক প্রয়োজন

যারা মোটামুটি গণিত অলিম্পিয়াডে শুরুর ধাপটা পার করতে পেরেছ, তাদের জন্য শ্রেষ্ঠ ওয়েবসাইট হল The art of Problem solving: এখানে 
(Mathlinks নামেও পরিচিত)। আরও লিঙ্ক পাওয়া যাবে এখানে।

Full Lesson >>

আমরা অনেকেই "অনুপাত" কাকে বলে জানি, কিন্তু অনুপাত আসলে কি ? বিস্তারিত ...

আমরা অনেকেই "অনুপাত" কাকে বলে জানি, কিন্তু অনুপাত আসলে কি ? বিস্তারিত ...

 

সংজ্ঞা দিয়েই শুরু করি!

অনুপাতঃ দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই। (গণিত, অনুপাত ও শতকরা, ৬ষ্ঠ শ্রেনি)

শুধুমাত্র অনুপাতের বিষদ আলোচনা

দুই বন্ধু। হাবু এবং ডাবু! সিপ্তর মতোই ৬ষ্ঠ শ্রেনিতে পড়ে! তো, একদিন হাবু ডাবুকে বললো, "এই ডাবু, তুই প্রতিদিন স্কুলে কত টাকা নিস রে?". ডাবু বললো, "৫ টাকা". হাবু খুশি হয়ে বললো, "আমি নেই ১০ টাকা। তোর ডাবল!"

এখানে, হাবু যখন ডাবুকে বললো, "আমি নেই ১০ টাকা। তোর ডাবল!". 'ডাবল' শব্দটি দ্বারা এখানে মূলত তারা তাদের টাকার অনুপাতকেই তারা বুঝিয়েছে। যদিও তারা এখনো অনুপাত সম্বন্ধে কিছুই জানে না! যাই হোক, এভাবেই মূলত জীবনের অনেক ক্ষেত্রে আমরা অনুপাত ব্যবহার করে থাকি।

এবার আমরা হাবু এবং ডাবুর টাকার পরিমাণ ছকে তুলবো...

ডাবুর টাকা	হাবুর টাকা
৫	১০

ছক দেখে আমরা সহজেই বুঝতে পারি যে, "হাবুর টাকা ডাবুর চাইতে বেশি এবং তা ডাবুর চাইতে ৫ টাকা বেশি। অর্থাৎ, হাবুর টাকা ডাবুর টাকার দিগুণ।"

এইযে আমরা "দিগুণ শব্দটা ব্যবহার করলাম, এটা কিন্তু অনুমান নয়। এটা অংকের একটা ভাষা।". অংক করে আমরা দেখবো, "হাবুর টাকা কীভাবে ডাবুর টাকার দিগুণ?"

• হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনাঃ

                                                                                                                         ডাবুর টাকা

ভগ্নাংশের দ্বারা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করলে ভগ্নাংশটি হবেঃ ──────

                                                                                                                         হাবুর টাকা

যেহেতু, হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করা হচ্ছে, তাই "ভগ্নাংশের লব" হিসেবে থাকবে "ডাবুর টাকা", কারন, আমরা ডাবুর টাকা হাবুর চাইতে কতগুন বেশি বা কম- তা বের করবো। আর, "ভগ্নাংশের হর" হিসেবে থাকবে "হাবুর টাকা", কারন, আমরা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করবো।

            ডাবুর টাকা        ৫         ১

অর্থাৎ, ────── = ─── = ──

            হাবুর টাকা        ১০       ২

                                                      ১

সুতরাং, ডাবুর টাকা হাবুর টাকার ── গুণ।

                                                     ২

• ডাবুর টাকার সাথে হাবুর টাকার তুলনাঃ

একইভাবে,

                                                                                                                         হাবুর টাকা             ১০

ভগ্নাংশের দ্বারা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকার তুলনা করলে ভগ্নাংশটি হবেঃ ──────── = ─── = ২

                                                                                                                         ডাবুর টাকা             ৫

সুতরাং, হাবুর টাকা ডাবুর টাকার ২ গুণ।

এইযে, আমরা হাবুর টাকার সাথে ডাবুর টাকা এবং ডাবুর টাকার সাথে হাবুর টাকার যেই তুলনা করলাম এটাই মূলত "অনুপাত". অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি যে, "অনুপাত মানে একটি পরিমানের সাথে অপর একটি পরিমানের তুলনা করা।". হাবু এবং ডাবুর যেই ছকটি দেখেছিলাম, সেই ছকটির মধ্যেই যদি আমরা তুলনা করি এবং এই "তুলনা" শব্দটিকে যদি আমরা ":" এই প্রতিক দ্বারা চিহ্নিত করি, তাহলে আমরা পাই...

ডাবুর টাকা	তুলনা	হাবুর টাকা
৫	:	১০

এখানে, ":" এই চিহ্নটিই হচ্ছে সেই "অনুপাতের চিহ্ন", যাকে আমরা "ইসটু" বলি।
সুতরাং, ডাবুর টাকা : হাবুর টাকা = ৫ : ১০ = ১ : ২ (ভগ্নাংশের মত উপর-নিচে কাটাকাটি করে!)
আশা করি, ছোটদের আর বুঝতে কোন অসুবিধা হবে না। ।

Full Lesson >>

আজকে আমরা শিখব কিভাবে ৩ সেকেন্ড এর মধ্যে যেকোনো দুই ডিজিট সংখ্যা এর সাথে ১১ গুণ করা যায়-হ্যাঁ, মাত্র ৩ সেকেন্ড !

আজকে আমরা শিখব কিভাবে ৩ সেকেন্ড এর মধ্যে যেকোনো দুই ডিজিট সংখ্যা এর সাথে ১১ গুণ করা যায়-হ্যাঁ, মাত্র ৩ সেকেন্ড !

আপনি কি ৩ সেকেন্ড এর মধ্যে বলতে পারেন  ৫৩x১১=?

এটা অনেক সহজ তাই আপানাদের সময় শুরু হল এখন..১….২…..৩..সময় শেষ।
সঠিক উত্তর হলঃ

আপনার পাওয়া উত্তর যদি এটাই হয় তাহলে তো খুব ভাল আর যদি এটা নাও হয় চিন্তার কোনো কারন নাই দুই মিনিট পর আপনিও ৩ সেকেন্ড এর মধ্যে যেকোনো দুই ডিজিট সংখ্যার এর সাথে ১১ এর গুণফল বের করতে পারবেন।আমরা যে দুই ডিজিট সংখ্যার সাথে ১১ দিয়ে গুন করব সেটার মাঝে একটা ফাঁকা জায়গা রাখব।এখন ঐ সংখ্যা দুইটার যোগফল ফাঁকা জায়গায় বসাবো।

এখানে ৫৩ এর সাথে ১১ গুণ করা হয়েছে।একটু ভাল করে খেয়াল করলে দেখা যাবে ৫+৩=৮ যেটা ঐ ফাঁকা জায়গায় বসে হয়েছে ৫৮৩ এবং এটাই আমাদের কাঙ্খিত উত্তর।

 

আমারা আর একটা দুই ডিজিট এর সংখ্যা নেই “৭২” এবং এটাকে ১১ দিয়ে গুণ করি

এখানে ৭+২=৯ অতএব ৭২x১১=৭৯২

আশা করি আপনারা সবাই বিষয়টা বুঝতে পেরেছেন। এবার বলুন তো ৭৫x১১=?এখানে ৭+৫=১২ তাহলে  ৭৫x১১=৭১২৫

 

কি আপনাদের উত্তর কি এটাই এসেছে ? যদি এটাই আসে তাহলে আপনাদের উত্তরটা সঠিক হয় নাই।কারন আমারা আগেই বলেছিলাম দুইটি সংখ্যার মাঝখানে একটা ফাঁকা জায়গা রাখতে হবে কিন্তু এইখানে ৭ আর ৫ যোগ করলে ১২ মানে দুই ডিজিট সংখ্যার মান পাওয়া যায় যা একটি ফাঁকা জায়গায় রাখা সম্ভব না।খুব সহজেই এটা সমাধান করা যায় আমারা ৭+৫=১২ এই ১২ এর ১ ,৭ এর উপরে লিখব তারপর এর যোগফল বের করব নিচের মতো করে তাহলে উত্তর হবে ৮২৫।

এবার শেষ করার আগে আপনাদের কাছে আমার শেষ প্রশ্ন বলুনতো  ৬৩x১১=?

এখানে ৬+৩=৯,অতএব ৬৩x১১=৬৯৩

আমার মনে হয় এখন থেকে আপনারা ৩ সেকেন্ড এর মধ্যে যেকোনো দুই ডিজিট সংখ্যা এর সাথে ১১ গুণ করতে পারবেন, নাকি কি পারবেন না?মন থেকে বলেন…

Full Lesson >>

পরিমিতির অঙ্কগুলো এক নিমিষে সল্ভ করার ট্রিকস ! পরিমিতি সম্পর্কে একটি মেগা পোস্ট, না পড়লে অনেক কিছুই মিস করবেন ।

পরিমিতির অঙ্কগুলো এক নিমিষে সল্ভ করার ট্রিকস ! পরিমিতি সম্পর্কে একটি মেগা পোস্ট, না পড়লে অনেক কিছুই মিস করবেন ।

পরিমিতি জিনিসটা অনেকের কাছেই খুব কঠিন । এত্ত এত্ত সূত্র মনে রাখতে গিয়ে তো প্রায় সবারই অবস্থা খারাপ । কিন্তু একটু টেকনিক্যালি পরিমিতি বুঝতে পারলে, এটা কোন ব্যাপারই না ! তখন পরিমিতির অঙ্কগুলো মনে হবে গেম খেলার মত :p

যাই হোক, কথা না বাড়িয়ে আলোচনা শুরু করি ...

 

 

 

 

এবার আসা যা প্র্যাকটিস অংশে :) 

 

 

 

 

 

 

 

এখানেই শেষ করছি । ধন্যবাদ সবাইকে ... 

Full Lesson >>

শুন্য কি জোড় নাকি বিজোড় ??

শুন্য কি জোড় নাকি বিজোড় ??

 

ছোটকাল থেকে পড়ে এসেছি জোড় সংখ্যা , বেজোড় সংখ্যা । এমন কি শুন্যস্থান পূরণও করেছি (যেমন ১, ৩, ৫, _ , ৯, _ ,১৩)। বল তো বাবু এখানে কী হবে? এত্ত সোজা? প্রথমে ৭ আর পরে ১১ হবে। এ তো গেল বেজোড় সংখ্যা। তারপর আসল জোড় সংখ্যা। সেগুলা হচ্ছে (২, ৪, ৬, ৮, ১০, ......) ইত্যাদি। ধীরে ধীরে বড় হবার পর হঠাৎ চিনে গেলাম ঋণাত্মক সংখ্যা, মানে মাইনাস ১ ( -১), মাইনাস দুই (-২) ইত্যাদি। এগুলা নাকি আবার ঋণাত্মক সংখ্যা। মাইনাস ২ কিন্তু আবার জোড়, মাইনাস ১ আবার বেজোড়। কিন্তু এসব কিছুর মাঝে মানে ঋণাত্মক আর ধনাত্মক এই দুই ভাইকে যে যুক্ত করে দিল মানে শুন্য, সে কি জোড় না বিজোড়?

জোড় আর বিজোড় - এই দুই ধরনের সংখ্যাকে একটু আলাদা করে দেখি আসলে এরা কী রকম। জোড় সংখ্যাগুলোকে প্রকাশ করা হয় 2N হিসেবে। মানে দুই এবং তার গুণিতক। জোড় সংখ্যাগুলোর শেষ অঙ্ক হয় ২,৪,৬,৮,০। (এইকথাটা নিয়ে শেষে বলছি)। আবার বিজোড় সংখ্যাকে প্রকাশ করা হয় 2N minus 1 এবং শেষ হয় ১,৩,৫,৭,৯ অঙ্কগুলো দিয়ে।


একসাথে নেট সার্চ দিলাম , আর একগাদা ভাইয়াকে জ্বালানো শুরু করলাম । কেউ বলল, ''জোড়''। আবার কেউ বলল,''এটা জোড় বেজোড় কিছুই না, এটা অঋণাত্মক'।' আর সবার শেষে সব চেয়ে মজার উত্তর দিল একজন, 'এইটা তো ভাই বিতর্কের বিষয়।'

এইবার শুন্য কেন জোড় এর পেছনে যুক্তিগুলো একটু দেখি ,

(১) একটি সংখ্যাকে জোড় বলা হয় যদি তা ২ এর গুণিতক হয়। শূন্য দুই এর একটি গুণিতক, অর্থাৎ ০ × ২, সুতরাং শূণ্য জোড়।
(২) আমরা জানি , জোড় ± জোড় = জোড় [ 2 plus (-2) = 0 ]
বিজোড় ± বিজোড় =জোড় [ 3 plus (-3) = 0 ]
জোড় × পূর্ণ সংখ্য = জোড়[ 36 x 0 = 0 ]
(৩) সংখ্যা রেখায় চিন্তা করা যাক এবার, ২,৪,৬,৮,১০ ...... এভাবে ২ ঘর পর পর যে সব সংখ্যা আছে সেগুলো জোড়। অন্যভাবে মাইনাসের ক্ষেত্রে -২ ,-৪,-৬,-৮ এগুলা সব মানে দুই ঘর পেছাতে থাকলে জোড় সংখ্যা পাওয়া যাবে। তাই ০ হল মাইনাস দুই (-২) আর প্লাস দুই(২) এর মাঝে। মাইনাস দুই এর দুই ঘর পর, আর ২ এর দুই ঘর পেছনে ০। এই দিক দিয়ে শুন্য জোড় ।

এটাকে অনেকে বলে জোড় , অনেকে বলে অঋণাত্মক ।

(৪) শুরুতে জোড় সংখ্যা কি সেটা বলতে গিয়ে বলেছিলাম জোড় সংখ্যা শেষ হয় ২,৪,৬,৮,০ অঙ্কগুলো দিয়ে। যেমন ১২, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০ ইত্যাদি। আচ্ছা, তাহলে ২,৪,৬,৮ তো এমনিতেই জোড় তাই না? তাহলে ০ জোড় না হবার কোন কারণ থাকা উচিত না । বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক কখনও ০ হয় না (বিজোড় সংখ্যার শেষ হয় ১,৩,৫,৭,৯) দিয়ে।

আর এই কঠিন যুক্তিগুলোকে তুচ্ছ করে আরও কিছু নতুন ব্যক্তিবর্গের কাছে পাওয়া গেল শুন্য জোড়ও না বেজোড় ও না । তাদের যুক্তি ,

(১) পূর্ণ সংখ্যা হচ্ছে ধনাত্মক , ঋণাত্মক এবং অঋণাত্মক । অঋণাত্মক , মানে শুন্য সংখ্যাটি ধনাত্মক আর ঋণাত্মককে মিলিয়ে দিয়েছে । তাই এটা জোড় বা বেজোড় কিছুই না ।
(২) আরও একটা সুন্দর যুক্তি দিয়েছেন একজন, সেটি হল জোড় সংখ্যা হল, 2N (এখানে N = 1,2,3,4,5,6,7,...) , তাহলে এখানে প্রথম জোড় সংখ্যা আসে 2, শুন্য আসে না । তাই না ? আবার বেজোড় সংখ্যার কথায় আসা যাক । বেজোড় সংখ্যা হল 2N ± 1 । তাহলে প্রথম বেজোড় সংখ্যা হল 1 । তাই তো ? কিন্তু এই যুক্তিতে তো ঋণাত্মক সংখ্যা গুলো বাদ পরে যাচ্ছে । এই ব্যাপারটা ঘোলাটে আমার কাছে ।আবার N ε N হলে ব্যাপারটা এক রকম , আবার N ε Z হলে তো ঋণাত্মকের সাথে আবার শুন্য এসে পড়ে। (৩) যারা শুন্যকে জোড় অথবা বেজোড় মনে করেন না তাদের কাছে সংখ্যা রেখায় শুন্য হল অঋণাত্মক । তাদের চোখে এইটা ঋণাত্মক আর ধনাত্মকের মাঝামাঝি । মানে এই যে , শুন্য কিছু না ।
(৪) শুন্যকে একটু আলাদা চোখে দেখে একটু বেশি আদর করে একজন গনিতবিদ তার বইয়ে লিখেছেন,
জোড় ± জোড় = জোড় (বা শূণ্য)
বিজোড় ± বিজোড় = জোড় (বা শূণ্য)
জোড় × অশূণ্য পূর্ণসংখ্যা = জোড় ।
(৫) আবার শূন্যকে ২ দ্বারা গুণ করলে ০ হয় ।এই যুক্তির বিপরীতে তাদের মত সব সংখ্যাকে ০ দিয়ে গুণ দিলে গুণফল শূন্যই হবে।কেননা সংখ্যারাজ্যে শূন্য একটি ব্যতিক্রম সংখ্যা ।
তাহলে আসলে শেষ পর্যন্ত কি দাঁড়াল ? আমার মতে শূন্য জোড় হওয়া উচিত(জোড় হবার ৪ নং যুক্তির বিপরীতে কোন মত পাচ্ছি না) । কিন্তু এই মতের বিপরীতে যারা তাদের মতে , শূন্য হল ব্যতিক্রম।

Full Lesson >>

ক্যালকুলেটর ছাড়াই সহজেই দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করুন!!

ক্যালকুলেটর ছাড়াই সহজেই দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করুন!!

গণিত বিষয়ে অনেক সময় অনেক জটিল কিছু সহজে করা যায় কিন্তু তার জন্য জানতে হয় কৌশল। সেই রকম একটা কৌশল নিয়ে আমি হাজির হয়েছি।
যে সকল দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার একক স্থানে ১,২,৩ আছে, তাদেরকে খুব সহজেই ক্যালকুলেটর ছাড়া আমরা বর্গ করতে পারি। যেমনঃ ১৩ হল একটা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা যা আমরা সহজেই মুখে মুখেই এর বর্গ বের করে নিতে পারি। কিন্তু ৮৩ সংখ্যার বর্গ মুখে মুখে বের করতে আমাদের একটু ঝামেলায় পড়তে হবে। এই সমস্যা আমরা খুব সহজেই সমাধান করতে পারি। নিচে তিনটি উদাহরণের সাহায্যে তা দেখানো হল।
উদাহরণ – ১
৮১ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ১^২ = ১ ------------------(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৮^২ = ৬৪ ------------------(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৮+৮ = ১৬ ------------------(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ৬৪( ১৬ )১
= (৬৪+১)৬১
= ৬৫৬১ যা ৮১ এর বর্গ।
উদাহরণ – ২
৪২ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ২^২ = ৪ ------------------(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৪^২ = ১৬ ------------------(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৮+৮ = ১৬ ------------------(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ১৬( ১৬ )৪
= (১৬+১)৬৪
= ১৭৬৪ যা ৪২ এর বর্গ।
উদাহরণ – ৩
২৩ এর বর্গ নির্ণয় করার কৌশলঃ
একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ৩^২ = ৯ ------------------(১নং)
দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ = ২^২ = ৪ ------------------(২নং)
(একক স্থানীয় অঙ্ক × দশক স্থানীয় অঙ্ক)+(দশক স্থানীয় অঙ্ক × একক স্থানীয় অঙ্ক) = ৬+৬ = ১২ ------------------(৩নং)
এখন বর্গ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ এবং শেষে দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গ বসবে। এর মাঝখানে ডানে বসবে ৩ নং এর একক স্থানীয় অঙ্ক এবং আগের দশক স্থানীয় অঙ্কের বর্গের সাথে ৩ নং এর দশক স্থানীয় অঙ্ক যোগ হয়ে যাবে।
নির্ণেয় বর্গ = ৪( ১২ )৯
= (৪+১)২৯
= ৫২৯ যা ২৩ এর বর্গ।

Full Lesson >>

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বের করার ইজি টেকনিক !

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বের করার ইজি টেকনিক !

মৌলিক সংখ্যাঃ যে সংখ্যাকে ১ এবং সে সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অর্থাৎ ১ থেকে বড় যেসবসংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অপর কোন গুণনীয়ক থাকে না, তাই হল মৌলিক সংখ্যা। যেমন ২, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি।

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ টিঃ

২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫৯,৬১,৬৭,৭১,৭৩,৭৯,৮৩,৮৯, এবং ৯৭।

 ১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল ১০৬০।

১-১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি।

এভাবে ১-১০,১১-২০...... ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হল ৪,৪,২,২,৩,২,২,৩,২,১
Simple টেকনিকঃ
শুধু মাত্র ২ ব্যতিত অন্য কোন জোড় সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ১২,২৮,৪৫৬
দুই বা ততোধিক সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে সেটি মৌলিক সংখ্যা হবে না। যেমনঃ ৫৫, ২৫,৬২৪৫ এগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে প্রতি  ১-১০/১০-২০/২০-৩০ ......ক্রমে ৭টি সংখ্যা থাকে যেগুলো জোড় অথবা শেষে ৫ থাকে এবং সেই সংখ্যা গুলো অমৌলিক বা মৌলিক সংখ্যা হয় নয়। যেমনঃ ২০-৩০ এর মধ্যে ২০,২২,২৪,২৫,২৬,২৮ এবং ৩০। তাহলে  আর বাকি থাকল ২১,২৩,২৭ এবং ২৯ ।এগুলো মৌলিক কিনা তা জানার জন্য নিচের পদ্ধতি অবলম্বন করুন।

মৌলিক সংখ্যা বের করার পদ্ধতিঃ

১ম পদ্ধতিঃ ১-১০ এর মধ্যে যে ৪ টা মৌলিক সংখ্যা আছে, (২,৩,৫,৭) এবং ২,৩,৫,৭ এর যোগফল ১৭ দিয়ে ভাগ না গেলে ঐ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা। যেমনঃ ৯৭ কে (২,৩,৫,৭,১৭) দিয়ে ভাগ যায় না, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু ১৬১ কে (২,৩,৫,৭,১৭) এর মধ্যে ৭ দিয়ে ভাগ যায়। তাই ১৬১ মৌলিক সংখ্যা না।

২য় পদ্ধতিঃ যে সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা কিনা জানতে চাওয়া হবে সেটির(√) বের করুন। রুট সংখ্যাটির সামনে ও পিছনের মৌলিক সংখ্যাটি দিয়ে ঐ সংখাকে ভাগ যায় কিনা দেখুন। যদি ভাগ যায় তবে মৌলিক সংখ্যা না। যেমন ১৪৩ এর রুট করলে পাওয়া যায় ১১.৯৬। এখানে ১১ নিজে মৌলিক সংখ্যা এবং এর পরের মৌলিক সংখ্যা হল ১৩। এই দুইটি সংখ্যা দিয়ে ১৪৩ কে ভাগ যায়। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
অর্থাৎ ২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭ দিয়ে ভাগ না গেলে বুঝতে হবে সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।

Full Lesson >>

গানিতিক কিছু টার্মের ইংলিশ ভার্সন দেখে নিন, কাজে লাগবে !

গানিতিক কিছু টার্মের ইংলিশ ভার্সন দেখে নিন, কাজে লাগবে !

আমরা ক্লাস ওয়ান থেকেই যোগ, বিয়োগ, গুন, ভাগ, ল সা গু, গ সা গু, ভগ্নাংশ, উৎপাদক, অনেক ধরনের অংক করেছি। কিন্তু অনেকেই আমরা এর English জানিনা। অর্থাৎ আমরা আজীবন যে অংকগুলো করেছি, তার English Term গুলো আমরা অনেকেই জানিনা।
চলুননা দেখি, কে কয়টা পারি?

বাংলা	ইংলিশ	সংক্ষেপে ব্যাখ্যা
সংখ্যা	Number	যে কোন সংখ্যাই Number
পূর্ণসংখ্যা	Integer/Whole number	শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যাই integer (দশমিক, ভগ্নাংশ, মিশ্র সংখ্যা ব্যতীত)
দশমিক সংখ্যা	Decimal	উদাহরনঃ 5.5, 0.25 ইত্যাদি
ভগ্নাংশ সংখ্যা	Fraction/Common Fraction/Improper Fraction
মিশ্র সংখ্যা	Mixed Number
হর	Denominator
লব	Numerator
ল.সা.গু	Least Common Multiple	লগিষ্ঠ সাধারন গুণিতক
গ.সা.গু	Greatest Common Divisor	গরিষ্ঠ সাধারন গুণনীয়ক
জোড়	Even	২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এগুলো জোড় সংখ্যা
বিজোড়	Odd	৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩ এগুলো বিজোড় সংখ্যা
অংক	Digit	একটি সংখ্যার প্রতিটি অক্ষরই এক একটি Digit
উৎপাদক	Factors	একটি সংখ্যাকে যতগুলো সংখ্যা দ্বারা নিঃশ্বেষে ভাগ করা যায়, ঐ ভাজক সংখ্যা গুলোই উক্ত সংখ্যার উৎপাদক। যেমন ১২ কে ২,৩,৪,৬ দ্বারা ভাগ করা যায়। এখানে ২,৩,৪,৬ হল ১২ এর উৎপাদক
মৌলিক সংখ্যা	Prime Number	একটি সংখ্যাকে  যখন শুধুমাত্র ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়না তাকেই Prime Number বলে। যেমন ১৭ কে ১ এবং ১৭ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা ছাড়া ভাগ করা যায় না, সুতরাং ১৭ হলো Prime Number.
বর্গমূল	Square Root
ঐকিক নিয়ম	Unitary Method

Full Lesson >>

আরেকটু বিস্তারিত - সেট সম্পর্কে ...

আরেকটু বিস্তারিত - সেট সম্পর্কে ...

 

সাধারণ ধারণা :

• সেট হচ্ছে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুসমূহের সমাহার বা তালিকা । সেটের অন্তর্গত প্রত্যেক বস্তুকে ঐ সেটে উপাদান (element) বা সদস্য (member) বলা হয় ।
• সাধারণত সেট দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয় :

1. তালিকা পদ্ধতি (Tabular Method) : যেমন A = {1,2,3,4,5}
2. সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method) : যেমন B = {x ∣ x ∈  N এবং x ≤ 5}

• সমান সেট : যেকোন সেট A=B হবে যদি A সেটের সকল সদস্য B সেটের সদস্য হয় এবং B সেটের সকল সদস্য A সেটের সদস্য হয় । অর্থাৎ,

A=B হবে যদি এবং কেবল যদি হলে x ∈  B হয় এবং x ∈  B হলে x ∈ A হয় ।

• ফাঁকা সেট/ শূণ্য সেট : যে সেটের কোন সদস্য নেই তাকে ফাঁকা বা শূণ্য (Empty) সেট বলা হয় । শূণ্য সেটকে {}  সংকেত দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
• উপসেট : যদি A সেটের প্রতিটি উপাদান B সেটেরও উপাদান হয় তবে A কে সেটের B উপসেট (Subset) বলা হয় । এবং A ⊂ B লিখে তা প্রকাশ করা হয় । উপসেট বোঝাতে ⊆ চিহ্নও ব্যবহার করা হয় । A ⊆ B হয় যদি ও কেবল যদি x ∈ A হলে x ∈ B হয় । কোন সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে ঐ সেটের জন্য 2ⁿ সংখ্যক উপসেট পাওয়া যাবে ।
• প্রকৃত উপসেট : সেট A কে B এর প্রকৃত উপসেট (Proper Subset) বলা হয় যদি A ⊂ B এবং A ≠ B হয় । A, B এর প্রকৃত উপসেট বোঝাতে A ⊊ B লেখা হয় । কোন সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে ঐ সেটের জন্য (2ⁿ-1) সংখ্যক প্রকৃত উপসেট পাওয়া যাবে ।
• শক্তি সেট : কোন সেটের উপসেটসমূহের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট (Power set) বলে । কোন সেট A এর পাওয়ার সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
• সার্বিক সেট : আলোচনাধীন সকল সেটকে তথা তাদের উপাদানসমূহকে একটি বিশেষ সেটের অন্তর্ভূক্ত বিবেচনা করা হয় । সেই বিশেষ সেটকে ঐ আলোচনার সার্বিক সেট (Universal Set) বলা হয় এবং সাধারণত ⋃ প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় ।
• ব্যবধি : a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a<b হলে এর চারটি বিশেষ ধরনের উপসেটকে a ও b প্রান্তবিশিষ্ট ব্যবধি (Interval) বলা হয় । দ্রষ্টব্য, সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা সূচিত করা হয় ।

1. a থেকে b পর্যন্ত খোলা (Open) ব্যবধি : ]a,b[ = (a,b) = {x∣x ∈ R এবং a<x<b}
2. a থেকে b পর্যন্ত বদ্ধ (Closed) ব্যবধি : [a,b] = {x∣x ∈ R এবং a≤x≤b}
3. a থেকে b পর্যন্ত খোলা-বদ্ধ ব্যবধি : ]a,b] = (a,b] = {x∣x ∈ R এবং a<x≤b}
4. a থেকে b পর্যন্ত বদ্ধ-খোলা ব্যবধি : [a,b[ = [a,b) = {x∣x ∈ R এবং a≤x<b}

• সংযোগ সেট : দুটি সেট A এবং B এর সকল উপাদান নিয়ে (কোন উপাদানের পুনরাবৃত্তি না করে) গঠিত সেটকে A এবং B এর সংযোগ সেট বলা হয় । যা A⋃B প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,

A⋃B = {x ∣ x ∈ অথবা  x ∈ b}
দ্রষ্টব্য, x ∉ A⋃B হয় যদি ও কেবল যদি x ∉ A এবং X ∉ B হয় ।
সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, i. A⋃B = B⋃A [বিনিময় বিধি]
                                      ii. A ⊆ A⋃B এবং B ⊆ A⋃B                         

• ছেদ সেট : দুটি সেট A এবং B এর সকল সাধারণ (Common) উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এবং B এর ছেদ সেট বলা হয় । যা A⋂B লিখে প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ

A⋂B = {x ∣ x ∈ A এবং x ∈ B}
দ্রষ্টব্য, x ∉ A⋂B হয় যদি ও কেবল যদি x ∉ A অথবা x ∉ B
সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে, i. AB = BA [বিনিময় বিধি]

  ii. A⋂B ⊂ A এবং A⋂B ⊂ B

• নিশ্ছেদ সেট : দুটি সেট A এবং B নিশ্ছেদ সেট বা সংক্ষেপে নিশ্ছেদ বলা হয় যদি A এবং B এর মধ্যে কোন সাধারণ উপাদান বিদ্যমান না থাকে । অর্থাৎ, A⋂B = ϕ যদি হয় ।
• অন্তর সেট : A এবং B দুটি সেট হলে, যে সমস্ত উপাদান A সেটে আছে কিন্তু B সেটে নেই, এরূপ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A এবং B এর অন্তর সেট (Differecne Set) বলে । A এবং B এর অন্তর সেটকে A-B বা A\B নিয়ে প্রকাশ করা হয় । একইভাবে, B সেটে আছে কিন্তু A সেটে নেই এরূপ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে B এবং A এর অন্তর সেট বলে । B এবং A এর অন্তর সেটকে B-A বা B\A লিখে প্রকাশ করা হয় ।

A-B = A\B = {X ∣ X ∈ A এবং X ∉ B}
B-A = B\A = {X ∣ X ∈ B এবং X ∉ A}
দ্রষ্টব্য : i. A-B ⊂ A
            ii. B-A ⊂ B

• পূরক সেট : কোন সেটের উপাদানগুলোকে বাদ দিয়ে সার্বিক সেটের অন্যান্য সমস্ত উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে উক্ত সেটের পূরক সেট বলে । A কোন সেট হলে A এর পূরক (Complement) সেটকে A′ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,

A′ = U-A = {X ∣ X ∈ U এবং X ∉ A}

• ক্রমজোড় : দুটি সংখ্যার ক্রমজোড়ে (Ordered Pair) একটি সংখ্যাকে প্রথম এবং অপরটিকে দ্বিতীয় উপাদান ধরা হয় । (a,b) দ্বারা একটি ক্রমজোড় নির্দেশ করা হয় যার প্রথম পদ a এবং দ্বিতীয় পদ b । ক্রমজোড় (a,b) ও (c,d) সমান হয় অর্থাৎ, (a,b) = (c,d) হয় যদি ও কেবল যদি a=c এবং b=d হয় ।
• কার্তেসীয় গুণজ সেট : যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A এর উপাদানগুলোকে প্রথম পদ ও B এর উপাদানগুলোকে দ্বিতীয় পদ ধরে গঠিত ক্রমজোড়ের সেটকে A এবং B এর কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) সেট বলে । যা A×B প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,

A×B = {(x,y) ∣ x ∈ A এবং y ∈ B}
A×B = {(x,y) ∣ x ∈ B এবং y ∈ A}
এবং সাধারণভাবে, A×B ≠ B×A
দ্রষ্টব্য, A সেটে p সংখ্যক বস্তু এবং B সেটে q সংখ্যক বস্তু থাকলে A×B সেটে pq সংখ্যক বস্তু থাকবে ।

• সেটের সংযোগ বিধি (Associative Law) : A,B,C যেকোন তিনটি সেট হলে,

1. (A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C)
2. (A⋂B)⋂C = A⋂(B⋂C)

• সেটের বণ্টন বিধি (Distributive Law) : A,B,C যেকোন তিনটি সেট হলে,

1. A⋃(B⋂C) = (A⋃B)⋂(A⋃C)
2. A⋂(B⋃C) = (A⋂B)⋃(A⋂C)

• অভেদক বিধি (Identity Law) : A যেকোন সেট এবং U সার্বিক সেট হলে,

1. A⋃ϕ = A
2. A⋂U = A
3. A⋃U = U
4. A⋂ϕ = ϕ

• পূরক বিধি (Complement Law) : U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ ফাঁকা সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,

1. A⋃A′ = U
2. A⋂A′ = ϕ
3. (A′)′ = A
4. U′ = ϕ
5. ϕ′ = U

• দ্য মরগানের বিধি (De Morgan’s Law) : A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,

1. (A⋃B)′ = A′⋂B′
2. (A⋂B)′ = A′⋃B′

• A সান্ত (finite) সেট হলে, A এর উপাদান সংখ্যা আমরা n(A) দিয়ে প্রকাশ করি ।
• A এবং B দুইটি সান্ত সেট ফলে A⋃B ও একটি সাই সেট । সেক্ষেত্রে,

n(A⋃B) = n(A)+n(B)-N(A⋂B)
n((A⋃B)′) = n(S)-n(A⋃B)        [A এবং B উভয়ে S এর উপসেট হলে]
                        = n(S)-n(A)-n(B)+n(A⋂B)

• A,B,C সাই সেট ফলে,

n(A⋃B⋃C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A⋂B)-n(B⋂C)-n(C⋂A)+n(A⋂B⋂C)

• ভেনচিত্র : কোন সেটের একাধিক উপসেটের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে অনেক সময় জ্যামিতিক চিত্র ব্যবহার করা হয় । বৃটিশ তর্কশাস্ত্রবিদ জন ভেন প্রথমে এরূপ চিত্র ব্যবহার করেন বলে তার নামানুসারে এগুলোকে ভেনচিত্র (Venn Diagram) বলা হয় । ভেনচিত্রে সার্বিক সেটকে সাধারণত আয়তক্ষেত্র এবং সংশ্লিষ্ট সেটগুলোকে বৃত্ত দ্বারা প্রকাশ করা হয় । নিম্নে কয়েকটি ভেনচিত্র দেখানো হল :

গাঢ় অংশটুকু A⋃B
গাঢ় অংশটুকু A⋂B
গাঢ় অংশটুকু (A⋃B)′
গাঢ় অংশটুকু A\B
গাঢ় অংশটুকু A′

Full Lesson >>

ত্রিকোণমিতির প্রাথমিক আলোচনা

ত্রিকোণমিতির প্রাথমিক আলোচনা

কোণের ডিগ্রী ও রেডিয়ান পরিমাপের সম্পর্ক:

1° = রেডিয়ান

1 রেডিয়ান =

লক্ষণীয়, π ≈ 3.1416 … …. এবং π^c = π রেডিয়ান = 180°

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠ABC = এক সমকোণ এবং ∠ACB = θ। তাহলে,

অতিভুজ = সমকোণের বিপরীত বাহু = AC

লম্ব = θ কোণের বিপরীত বাহু = AB

ভূমি = অতিভুজ ব্যতীত θ কোণের সন্নিহিত অপর বাহু = BC

∴ θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হল,

sin θ = = =

cosec θ = = =

cos θ = = =

sec θ = = =

tan θ = = = =

cot θ = = = =

যেকোনো সাধারণ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: মনে করি, X′OX রেখা x অক্ষ, YOY′ রেখা y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। এখানে, ধনাত্মক x অক্ষ অর্থাৎ OX রশ্মি থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণনের ফলে ∠XOP = θ কোণের সৃষ্টি হয়েছে যেখানে OX কোণটির আদি বাহু (initial side) এবং OP প্রান্তিক বাহু (terminal side)। P(x,y) বিন্দুর অবস্থান XOY, X′OY, X′OY′ অথবা Y′OX এই চারটি চতুর্ভাগের (quadrant) যেকোনো একটিতে হতে পারে।

 

P বিন্দু থেকে XOX′ রেখার উপর PM লম্ব আকা হল। মূলবিন্দু O থেকে P বিন্দুর দূরত্ব OP কে P বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর। এখানে,

OP = ব্যাসার্ধ ভেক্টর = অতিভুজ = r

PM = x অক্ষ থেকে P বিন্দুর দূরত্ব = লম্ব = y

OM = y অক্ষ থেকে P বিন্দুর দূরত্ব = ভূমি = x

∴ θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ:

sin θ = =

cosec θ = =

cos θ = =

sec θ = =

tan θ = =

cot θ = =

‒ θ (0° < θ < 90°) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: ধনাত্মক x অক্ষ অর্থাৎ OX রশ্মি থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণনের ফলে ঋণাত্মক θ কোণ সৃষ্টি হয়।

sin (‒ θ) = ‒ sin θ

cosec (‒ θ) = ‒ cosec θ

tan (‒ θ) = ‒ tan θ

cot (‒ θ) = ‒ cot θ

cos (‒ θ) = cos θ

sec (‒ θ) = sec θ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের চিহ্ন: θ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যা-ই হোক না কেন, θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয় P এর অবস্থান তথা θ কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থানের উপর ভিত্তি করে। ১ম চতুর্ভাগে সব অনুপাতই ধনাত্মক। ২য় চতুর্ভাগে sine ও cosec ধনাত্মক, বাকিগুলো ঋণাত্মক। ৩য় চতুর্ভাগে tangent ও cotangent ধনাত্মক, বাকিগুলো ঋণাত্মক। ৪র্থ চতুর্ভাগে cosine ও secant ধনাত্মক, বাকিগুলো ঋণাত্মক।

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র: sin² θ + cos² θ = 1

sec² θ = 1 + tan² θ

cosec² θ = 1 + cot² θ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সীমাবদ্ধতা: ‒ 1 ≤ sin θ ≤ 1

‒ 1 ≤ cos θ ≤ 1

sec θ ≥ 1 or sec θ ≤ ‒ 1

cosec θ ≥ 1 or cosec θ ≤ ‒ 1

0°, 30°, 45°, 60° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান:

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে কোণগুলো যখন π এর গুণিতক বা উপগুণিতক হিসেবে দেওয়া থাকে তখন অনুপাতগুলো মূলত রেডিয়ান কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রকাশ করে থাকে। অর্থাৎ,

sin ≠ sin বরং, sin = sin = sin = sin 60° [কোণের ডিগ্রী ও রেডিয়ান পরিমাপের সম্পর্ক দ্রষ্টব্য]

	0°	30°	45°	60°	90°
sine	0				1
cosine	1				0
tangent	0		1		অসংজ্ঞায়িত
cotangent	অসংজ্ঞায়িত		1		0
secant	1			2	অসংজ্ঞায়িত
cosecant	অসংজ্ঞায়িত	2			1

Full Lesson >>