পড়ন্ত বস্তুর গতি-বিস্তারিত আলোচনা

পড়ন্ত বস্তুর গতি-বিস্তারিত আলোচনা

আজকে আমি গ্যালিলিওর পড়ন্ত বস্তুর সূত্রের সাহায্যে ব্যবহারিক তথা গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা নিয়ে আলোচনা করবো।
আশা করি আমরা সবাই গ্যালিলিওর পড়ন্ত বস্তুর সূত্রগুলো জানি। সূত্রের গাণিতিক রূপ এরকম:
১। v = u + gt
২। h = ut + ½ gt²
৩। v² = u² + 2gh
মজার ব্যাপার হচ্ছে, ফিজিক্সের বইগুলোতে সাধারণত লেখা থাকে যে, (ঊর্ধ্বে) নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে শুধু ত্বরণ নেগেটিভ দিয়ে দিলেই হবে। সেক্ষত্রে সূত্রগুলো হবে:
১.১। v = u – gt
২.১। h = ut – ½ gt²
৩.১। v² = u² – 2gh
কিন্তু এই কথাটা বিষয়টাকে ক্লিয়ার তো করেই না, বরং আরো গুলিয়ে দেয় ও স্টুডেন্টদের কনফিউজড করে দেয়। বিশেষ করে এই পদ্ধতিতে সহজ ও ছোট-খাটো সমস্যার সমাধান করা গেলেও, প্রাসের গতি বা নিক্ষিপ্ত বস্তু সর্বোচ্চ উচ্চতায় ওঠার পর যখন আবার পড়ন্ত বস্তুতে পরিণত হয়, ইত্যাদি কিঞ্চিত জটিল সমস্যা সমাধান করা কঠিন হয়ে পড়ে।
তাহলে দেখা যাক, সূত্রগুলোকে আসলে কীভাবে ব্যবহার করা যায়। সবার প্রথমে আমাদের যেটা করতে হবে, তা হলো যেকোনো এক দিককে (উপরের দিক অথবা নিচের দিক) পজিটিভ ও অপর দিককে নেগেটিভ ধরে নিতে হবে। এই ধরার ব্যাপারটা আরবিট্রারি তথা ইচ্ছাধীন। যেমন, আপনি চাইলে উপরের দিককে পজিটিভ ও নিচের দিককে নেগেটিভ ধরতে পারেন। ইচ্ছা হলে উল্টোটাও ধরতে পারেন। তবে সাধারণত উপরের দিককেই পজিটিভ ধরা হয়। তারপর উপরে লেখা সূত্র ১, ২ ও ৩ ব্যবহার করে প্রবলেম সলভ করতে হবে। এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে, সূত্র ১.১, ২.১ ও ৩.১ কোনোভাবেই ব্যবহার করা চলবে না। এগুলো আসলে ভুয়া সূত্র, যা কিনা আগের সূত্রগুলোরই একটা বিশেষ রূপ। সূত্র ব্যবহারের ক্ষেত্রে সূত্রের মধ্যেই পজিটিভ দিকের জন্য ‘+’ আর নেগেটিভ দিকের জন্য ‘–’ চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে। অর্থাৎ, আপনি যে দিককে পজিটিভ ধরেছেন, কোনো ভেক্টর রাশি যদি ঐদিকে হয়, তাহলে তাকে পজিটিভ ও কোনো ভেক্টর রাশি যদি তার বিপরীত দিকে হয়, তাহলে তাকে নেগেটিভ ধরতে হবে। চিহ্নের এই পরিবর্তন সূত্রেই করে নিতে হবে। যখন রাশিগুলোর ভ্যালু বা মান সূত্রে বসাবেন, তখন যেনো নেগেটিভ ভ্যালু বসাতে না হয়। এতে প্রবলেমগুলো অনেকটাই সহজ ও সিস্টেমেটিক উপায়ে সলভ করা যায়। তবে যে রাশির মান বের করতে হবে, তার জন্য চিহ্ন পরিবর্তনের দরকার নাই। বরং সূত্র থেকে রাশির মান চিহ্ন সহকারেই বের হবে। কথা হচ্ছে, এসব সূত্রের ক্ষেত্রে চিহ্ন এতো গুরুত্বপূর্ণ কেনো? কারণ প্রায় সবগুলো রাশিই (বেগ, ত্বরণ, সরণ ইত্যাদি) ভেক্টর। এখন, নেগেটিভ ভেক্টর দুইভাবে হতে পারে, মানে নেগেটিভ, অথবা দিকে নেগেটিভ। আমাদের ট্র্যাডিশনাল বইগুলোতে নেগেটিভ ভেক্টর বুঝাতে কোনো কোনো প্রবলেমের ক্ষেত্রে মান নেগেটিভ ধরে, আবার কোনো প্রবলেমের ক্ষেত্রে দিক নেগেটিভ ধরে। ফলে শিক্ষার্থীরা গুলিয়ে ফেলে। প্রায়ই তারা যে কাজটা করে, তা হলো মান ও দিক উভয়টাই নেগেটিভ ধরে ডাবল নেগেটিভের মাধ্যমে নেগেটিভ ভেক্টরকে ভুল করে পজিটিভ বানিয়ে দেয়। এখানে যে পদ্ধতিটা দেয়া হলো, সেখানে আসলে নেগেটিভ ভেক্টর বলতে পজিটিভ ভেক্টরের উল্টো দিকে ক্রিয়াশীল ভেক্টরকে বুঝানো হচ্ছে। স্কেলার রাশি (ভর, সময় ইত্যাদি) নিয়ে এই সমস্যা হয় না, কারণ স্কেলার রাশি সবসময়ই পজিটিভ। খুব সহজ একটা উদাহরণ দিয়ে শুরু করি।
সমস্যা ১: কোনো বস্তুকে ২০ মিটার উঁচু কোনো দালানের ছাদ হতে কত বেগে নিচের দিকে নিক্ষেপ করলে তা ১ সেকেন্ড পরে ভূপৃষ্ঠে পতিত হবে?
সমাধান ১.১: এই সমাধানের জন্য আমরা উপরের দিককে পজিটিভ ও নিচের দিককে নেগেটিভ ধরবো। এখানে, h = 20 m, t = 1 s, g = 9.8 ms^-2, u = ?
আমাদের হাতে যে সূত্রটি আছে, তা হলো h = ut + ½ gt²। যেহেতু u (আদিবেগ) এর মান বের করতে হবে, কাজেই আমরা u এর চিহ্ন নিয়ে চিন্তা করবো না। t এর চিহ্ন সবসময়ই পজিটিভ। বাকি থাকে h আর g এর চিহ্ন। এখানে, h এর দিক উপর থেকে নিচের দিকে, কারণ বস্তুটির সরণ উপর থেকে নিচের দিকে হচ্ছে তথা তার শেষ অবস্থান আদি অবস্থানের সাপেক্ষে নিচে। আবার অভিকর্ষজ ত্বরণ g এর দিকও উপর থেকে নিচের দিকে, যেহেতু তা নিচের দিকে ক্রিয়াশীল। এখানে আমরা উপরের দিককে পজিটিভ ও নিচের দিককে নেগেটিভ ধরেছি, কাজেই h ও g এর চিহ্ন হবে নেগেটিভ। অতএব, আমাদের পরিবর্তিত সূত্রটা হবে:
–h = ut – ½ gt²; যা সলভ করলে u এর মান –15.1 ms^-1 পাওয়া যাবে। এক্ষেত্রে অবশ্যই লক্ষ রাখতে হবে যে, আমরা যেহেতু একবার সূত্রের মাঝেই চিহ্ন পরিবর্তন করে নিয়েছি, সেহেতু যখন মান বসাবো, তখন কখনোই নেগেটিভ মান বসানো যাবে না। সব চেয়ে ভালো হয় মান বসানোর সময় চিহ্ন নিয়ে কোনো চিন্তাই না করলে, কারণ রাশিগুলোর চিহ্ন কী হবে, তা আমরা অলরেডি ভেক্টরের ক্রিয়াদিক বিবেচনার মাধ্যমে ঠিক করে ফেলেছি। মোদ্দা কথা মানগুলো সবই পজিটিভ হবে। এখন কথা হচ্ছে, u এর মান নেগেটিভ হওয়ার তাত্পর্য কী? এটার মানে হচ্ছে, আমরা যে দিককে পজিটিভ ধরেছিলাম, এটা তার বিপরীত দিকে (কাজেই যে দিককে নেগেটিভ ধরেছিলাম, সেই দিকে) ক্রিয়া করে। যেহেতু আমরা উপরের দিককে পজিটিভ ধরেছিলাম, কাজেই u এর মান 15.1 ms^-1 এবং এটা উপর থেকে নিচের দিকে ক্রিয়াশীল।
সমাধান ১.২: এই সমাধানের জন্য আমরা নিচের দিককে পজিটিভ ও উপরের দিককে নেগেটিভ ধরবো।
এখন নিশ্চয়ই বুঝা যাচ্ছে যে, উপরের সূত্রে h ও g উভয়ের মান হবে পজিটিভ, যেহেতু উভয়ই আমাদের ধরে নেয়া পজিটিভ দিক বরাবর ক্রিয়াশীল। কাজেই, সূত্রের রূপ হবে:
h = ut + ½ gt²; যা সলভ করলে u এর মান 15.1 ms^-1 পাওয়া যাবে। এক্ষেত্রেও মান বসানোর সময় শুধুই পজিটিভ মান বসাতে হবে। এখন প্রশ্ন হলো, সমাধান ১.১ এ রেজাল্ট আসলো নেগেটিভ, আর সমাধান ১.২ এ পজিটিভ, তাহলে কোনটা সঠিক? সচেতন পাঠকদের বুঝতে বাকি থাকার কথা না যে, দুটো উত্তরই সঠিক। আগেরবার উত্তর নেগেটিভ এসেছিলো, কারণ আমরা উপরের দিক পজিটিভ ধরেছিলাম, কাজেই নেগেটিভ উত্তর নিচের দিকে বুঝিয়েছিলো। আর এবার যেহেতু আমরা নিচের দিক পজিটিভ ধরেছি, কাজেই উত্তরও পজিটিভ এসেছে, যা আসলে উপর থেকে নিচের দিককেই নির্দেশ করছে। কাজেই এবারও u এর মান 15.1 ms^-1 এবং এটা উপর থেকে নিচের দিকে ক্রিয়াশীল। কাজেই দেখে গেলো, আপনি কোন দিককে পজিটিভ বা নেগেটিভ ধরছেন, তার উপর সমস্যার সমাধান নির্ভর করে না। এ কারণেই দিক ধরার ব্যাপারটাকে আরবিট্রারি বা ইচ্ছাধীন বলেছিলাম।
চলেন, এবার তাহলে আরেকটু জটিল সমস্যার দিকে তাকানো যাক।
সমস্যা ২: কোন বস্তুকে ভূপৃষ্ঠ থেকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা হতে সোজা উপরের দিকে ১০ মি/সে বেগে ছুঁড়ে মারা হলো আর তা ৫ সেকেন্ড পরে ভূপৃষ্ঠে পতিত হলো। কত উচ্চতা হতে বস্তুটিকে ছুঁড়ে মারা হয়েছিলো?
সমাধান ২.১: এবারও আগের মতোই আমরা উপরের দিককে পজিটিভ ধরবো। এখানে, u = 10 ms^-1, t = 5 s, g = 9.8 ms^-2, h = ?
এখন, u উপরের দিকে বিধায় তা পজিটিভ এবং g নিচের দিকে বিধায় তা নেগেটিভ। কাজেই আমাদের সূত্রটা হবে:
h = ut – ½ gt²; যা সলভ করলে h = –72.5 m পাওয়া যাবে। যেহেতু h এর মান নেগেটিভ, কাজেই তার দিক আমাদের ধরা পজিটিভ দিকের বিপরীত দিকে, অর্থাৎ নিচের দিকে। আরেকটু ভালোভাবে বলতে গেলে, বস্তুটির নিচের দিকে সরণ হয়েছিলো ৭২.৫ মিটার। কাজেই, বস্তুটিকে ৭২.৫ মিটার উচ্চতা হতে ছুঁড়ে মারা হয়েছিলো।
সমাধান ২.২: এবার আমরা নিচের দিককে পজিটিভ ধরবো। এতে কিন্তু রাশিগুলোর মানের কোনো পরিবর্তন হবে না।
এক্ষেত্রে, u উপরের দিকে বিধায় তা নেগেটিভ এবং g নিচের দিকে বিধায় তা পজিটিভ। কাজেই সূত্রের রূপ হবে এরকম:
h = –ut + ½ gt²; যা সলভ করলে h = 72.5 m পাওয়া যাবে। এখানে h এর মান পজিটিভ এসেছে। যেহেতু আমরা নিচের দিক পজিটিভ ধরে নিয়েছিলাম, কাজেই এই পজিটিভ মান আসলে নিচের দিকে সরণ নির্দেশ করে, যা কিনা আগের ফলাফলের সাথে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ। অর্থাৎ, যে দিককেই পজিটিভ ধরা হোক না কেনো, উত্তর একটাই, বস্তুটিকে ৭২.৫ মিটার উচ্চতা হতে ছুঁড়ে মারা হয়েছিলো।
আরেকটা উদাহরণ দিয়ে আজকের পর্ব শেষ করছি।
সমস্যা ৩: এক বালক একটা টেনিস বল দিয়ে খেলার এক পর্যায়ে ভূপৃষ্ঠ থেকে উপরের দিকে তা ৫০ মি/সে বেগে ছুঁড়ে মারলো এবং তা ঠিক পাশেই অবস্থিত বাড়ির ছাদের মেঝেতে ১০ মি/সে বেগে আঘাত করলো। সে যখন বলটি ছুঁড়ে মারে, তখন তার হাত ভূমি থেকে ১ মিটার উচ্চতায় ছিলো। ছুঁড়ে মারার কত সময় পরে বলটি ছাদে পতিত হয়? বাড়িটার উচ্চতা কত?
সমাধানের পূর্বকথা: সমাধানে যাওয়ার আগে কিছু বিষয় চিন্তা করা জরুরি। সমস্যা সমাধানে এই চিন্তা না করলেও চলবে, তবে সমস্যাটার ভিজুয়ালাইজেশনের জন্য এর দরকার আছে। আমরা জানি, উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তু তার সর্বোচ্চ উচ্চতায় শুন্য বেগ প্রাপ্ত হয়। এখন কেউ যদি ভেবে বসেন যে, বলটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় গিয়ে বাড়ির ছাদে পৌঁছাবে (চিত্র: ১), তাহলে ভুল হবে, কারণ আমাদের সমস্যায় দেয়া আছে, বলটি ১০ মি/সে বেগে ছাদের মেঝেতে আঘাত করবে (চিত্র: ২)। কাজেই, ব্যাপারটা আসলে চিত্র: ১ এর মতো না হয়ে চিত্র: ২ এর মতো হবে। এক্ষত্রে শেষ বেগ হবে ১০ মি/সে আর তার দিক হবে নিচের দিকে। এখানে একটা বিষয় লক্ষনীয়, তা হলো এই জাতীয় প্রবলেমের ক্ষেত্রে অনেকেই বস্তুর দুই দিকে সরণ নিয়ে বিভ্রান্তিতে পড়ে যান। কারণ, তা তার গতিপথের কিছু অংশ উপরের দিকে ও কিছু অংশ নিচের দিকে গতিশীল। তাই অনেকেই এসব প্রবলেম দুই ধাপে সলভ করার কথা চিন্তা করেন। কিন্তু তার আসলে দরকার নাই। কারণ, যখন আমরা সরণ হিসাব করবো, তখন সবসময় মনে রাখতে হবে যে এটা একটা ভেক্টর। কাজেই, ভেক্টরের দিক বের করার পদ্ধতি অনুযায়ী এর দিক হবে আদি অবস্থান থেকে শেষ অবস্থানের দিকে এবং এক্ষেত্রে বস্তুটি মাঝখানে অন্য কোনো দিকে ভ্রমণ করেছিলো কিনা, তা ইম্পর্ট্যান্ট না।
সমাধান ৩.১: এবারও আগে উপরের দিক পজিটিভ ধরলাম। এখানে, u = 50 ms^-1, v = 10 ms^-1, g = 9.8 ms^-2, t = ?, h = ?
t বের করার জন্য আমরা ব্যবহার করবো v = u + gt সূত্র। এখানে, u উপরের দিকে, কাজেই তা পজিটিভ হবে। v ও g নিচের দিকে বিধায় তারা নেগেটিভ হবে। অতএব, সূত্রের পরিবর্তিত রূপ হবে -v = u – gt, যা সমাধান করলে t = 6.12 s পাওয়া যাবে।
h বের করার জন্য ব্যবহৃত সূত্র হচ্ছে, v² = u² + 2gh, যার পরিবর্তিত রূপ হবে v² = u² – 2gh (যেহেতু g নেগেটিভ)। এটা সমাধান করলে পাওয়া যাবে, h = 122.45 m। যেহেতু h এর মান পজিটিভ এসেছে, কাজেই h এর দিক হবে উপরের দিকে, যা আমাদের চিত্র: ২ এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ও বাস্তবসম্মত।
সমাধান ৩.২: এক্ষেত্রে নিচের দিক পজিটিভ ধরে নেই। কাজেই, u এর দিক উপরে বিধায় তা নেগেটিভ হবে। v ও g এর দিক নিচের দিকে বিধায় তারা পজিটিভ হবে। কাজেই, প্রথম সূত্রের পরিবর্তিত রূপ হবে v = -u + gt, যা সলভ করলে t = 6.12 s পাওয়া যাবে।
দ্বিতীয় সূত্রের মূল রূপের কোনো পরিবর্তন হবে না, কারণ আমাদের ধরে নেয়া দিক অনুযায়ী g পজিটিভ। কাজেই, ব্যবহৃত সূত্র হবে v² = u² + 2gh, যা সমাধান করলে পাওয়া যাবে, h = -122.45 m। যেহেতু h এর মান নেগেটিভ এসেছে, কাজেই তা আমাদের ধরে নেয়া পজিটিভ দিকের বিপরীত দিকে তথা উপরের দিকে ক্রিয়াশীল। অতএব, উভয় ক্ষেত্রেই প্রাপ্ত ফলাফল হলো, বলটা ছুঁড়ে মারার ৬.১২ সেকেন্ড পরে ছাদের মেঝেতে পড়ে এবং বাড়ির উচ্চতা ১২৩.৪৫ মিটার (যেহেতু বলটা ভূমির ১ মিটার উচ্চতা হতে ছুঁড়ে মারা হয়েছিলো)।
এখানে একটা মজার ব্যাপার লক্ষণীয় যে, যখন কোনো প্রবলেম সলভ করার জন্য v² = u² + 2gh সূত্র ব্যবহার করা হয়, তখন u ও v এর চিহ্ন নিয়ে আসলে চিন্তা করার দরকার নাই, কারণ তাদের চিহ্ন যাই হোক না কেনো, u² ও v² এর মানের উপর এর কোনো প্রভাব পড়বে না।